Question

已知函數．
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）當a＜0，且時，f（x）的值域為[4，6]，求a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：將函數f（x）解析式括號中第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，
（1）將a的值代入f（x）解析式中，根據正弦函數單調遞減區間為[2kπ+，2kπ+]，（k∈Z），列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數的單調遞減區間；
（2）由x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得出正弦函數的值域，確定出f（x）的值域，由已知函數的值域，根據a小于0，判斷出a+b小于b，列出關于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．
解答：解：f（x）=a（cos²+sinx）+b=（cosx+sinx）++b=sin（x+）++b，
（1）當a=2時，f（x）=sin（x+）+b+1，
令2kπ+≤x+≤2kπ+，（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+，（k∈Z），
則函數f（x）的單調遞減區間為[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）；
（2）∵x∈[，π]，∴x+∈[，]，
∴sin（x+）∈[-，]，
∵a＜0，
∴，
解得：a=-2，b=6．
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的余弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及三角函數的最值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．