Question

已知函數．
（1）當0＜a＜b且f（a）=f（b）時，求證：ab＞1；
（2）是否存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（a）=f（b），推得0＜a＜1＜b，且，再利用基本不等式即可得到結論．
（2）先假設存在滿足條件的實數a，b，由于f（x）是絕對值函數，則分當a，b∈（0，1）時、a∈（0，1）且b∈[1，+∞）和a，b∈[1，+∞）時三種情況分析，即可得到正確結論．
解答：解：（1）f（a）=f（b）得，，得a=b（舍）或
∴，∴
∵a≠b，∴等號不可以成立，故ab＞1…..…（5分）
（2）不存在.，
①當a，b∈（0，1）時，在（0，1）上單調遞減，可得
∴，得矛盾
②當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，顯然1∈[a，b]，而f（1）=0，則0∈[a，b]矛盾
③當在（1，+∞）上單調遞增，可得∴，a，b是方程的兩個根，此方程無解； …（11分）
點評：本題主要考查絕對值函數的單調性、定義域和值域，同時還考查學生的分類討論解決問題的能力．