Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足a²+b²-c²-ab=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若

sinC

cosAsinB

=

2c

b

，且

AB

•

BC

=-8，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）根據題中的等式，利用余弦定理算出cosC=

1

2

，結合0＜C＜π，可得角C的大小；
（II）根據正弦定理，化簡

sinC

cosAsinB

=

2c

b

得到cosA=

1

2

，從而得出A=

π

3

，結合三角形內角和定理算出B=

π

3

．再由

AB

•

BC

=-8解出ac=16，利用三角形的面積公式加以計算，可得△ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵a²+b²-c²-ab=0，可得a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，
結合0＜C＜π，可得C=

π

3

；
（Ⅱ）∵

sinC

cosAsinB

=

2c

b

，
∴由正弦定理得

sinC

cosAsinB

=

2sinC

sinB

，解得cosA=

1

2

，結合0＜A＜π，得A=

π

3

．
∵△ABC中，C=

π

3

，∴B=π-（A+B）=

π

3

，
因此

AB

•

BC

=-accosB=-8，可得accos

π

3

=8，解得ac=16
∴△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

1

2

×16×

3

2

=4

3

．

點評：本題給出三角形的邊滿足的關系式，求角C的大小，并在已知向量數量積的情況下求△ABC的面積．著重考查了正余弦定理、向量的數量積公式與三角形面積公式等知識，屬于中檔題．