Question

已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點，點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓M：x²+（y-5）²=9，雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．

Answer 1

解：（1）依題意，可設橢圓C的方程為mx²+ny²=1，…（1分）
從而，解得…（3分）
故橢圓C的方程為…（4分）
（2）橢圓C：的兩焦點為F₁（-5，0），F₂（5，0），…（5分）
∵雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，
∴雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，且c=5．…（6分）
設雙曲線G的方程為（a＞0，b＞0），則G的漸近線方程為y=±x，…（7分）
即bx±ay=0，且a²+b²=25，
圓M：x²+（y-5）²=9的圓心為（0，5），半徑為r=3．
∵雙曲線G的兩條漸近線恰好與圓M相切
∴
∴a=3，b=4．…（9分）
∴雙曲線G的方程為．…（10分）
分析：（1）待定系數法求橢圓的方程，設橢圓C的方程為mx²+ny²=1，將點，點代入，建立方程組，即可求出橢圓C的方程；
（2）設出雙曲線方程，利用圓M：x²+（y-5）²=9，雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，建立兩個方程，從而可求出雙曲線G的方程．
點評：本題考查橢圓、雙曲線的標準方程，考查待定系數法，根據不同條件，設出方程是我們解答這類問題的關鍵．