Question

求下列函數的定義域、值域．
（1）y=(

1

2

)1+2x-x2
（2）y=(

3

2

) -|x|．

Answer 1

分析：（1）因為x無論取何實數，1+2x-x²都有意義，且指數函數的定義域為R，所以函數y=(

1

2

)1+2x-x2的定義域為R；
（2）因為x無論取何實數，-|x|都有意義，且指數函數的定義域為R，所以函數y=(

3

2

) -|x|的定義域為R．

解答：解：（1）因為指數函數的定義域為R，所以1+2x-x²不論取何值，函數y=(

1

2

)1+2x-x2都有意義，所以x可以取所有實數，即函數y=(

1

2

)1+2x-x2的定義域為R；
令t=-x²+2x+1，此函數對應的拋物線開口向下，所以函數有最大值，即tmax=

4×(-1)×1-22

4×(-1)

=2．
因為以

1

2

為底數的指數函數是減函數，
則y=(

1

2

)1+2x-x2=(

1

2

)t≥(

1

2

)2=

1

4

．
所以，函數y=(

1

2

)1+2x-x2的值域為[

1

4

，+∞)．
（2）因為指數函數的定義域為R，所以-|x|不論取何值，函數y=(

3

2

) -|x|都有意義，所以x可以取所有實數，即函數y=(

3

2

) -|x|的定義域為R；
令t=-|x|，則t≤0．
因為以

3

2

為底數的指數函數是增函數，
則y=(

3

2

) -|x|=(

3

2

)t≤(

3

2

)0=1．
又指數函數的函數值大于0，
所以，函數y=(

3

2

) -|x|的值域為（0，1]．

點評：本題考查了簡單復合函數的定義域及其求法，考查了函數的值域，訓練了指數不等式的解法，解答此題的關鍵是熟記指數函數的單調性，是基礎題．