Question

求下列函數的定義域與值域
（1）y=

x 1 2 +x- 1 2

x 1 2 -x- 1 2

；
（2）y=

-(lo g x 1 4 )2+lo g x 1 4 +2

．

Answer 1

分析：（1）由分母不為0，得自變量x的取值即為函數的定義域，再把函數f（x）的解析式化簡，得到y=

x+1

x-1

，求函數y的值域，可以先用y表示x，這樣含y的解析式中y的取值范圍即是所求函數y的值域．
（2）先由被開方數為非負數建立不等關系即可求出函數的定義域，利用 換元法：設log 

1

4

x=t，則y=

-t2+t+2

，再結合二次函數的性質求出函數的值域．

解答：解：（1）由題意，函數式中分母不為0，且被開方數非負數，
∴

x＞0 x 1 2 -x- 1 2 ≠0

，
∴x＞0且x≠1；
所以函數f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞）．
由題函數可變為y=

x+1

x-1

，
∴y（x-1）=x+1，
∴x（y-1）=y+1，
∴x=

y+1

y-1

，
∴由于x＞0且x≠1，

y+1

y-1

＞0，解得-1＜y＜1；所以函數的值域為：（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）由-（log 

1

4

x）²+log 

1

4

x+2≥0得-1≤log 

1

4

x≤2，
∴

1

16

≤x≤4，
所以函數的定義域為[

1

16

，4]，
設log 

1

4

x=t，則y=

-t2+t+2

=

-(t- 1 2 )2+ 9 4

，
其中-1≤t≤2，
∴當t=

1

2

時，y取得最大值

3

2

；當t=-1或2時，y取得最小值0；
所以函數的值域為：[0，

3

2

]．

點評：本題考查了指數函數，對數函數的定義域和值域的問題．對于不容易求值域的函數，通常先用y表示x，則含y的解析式中y的取值范圍即是所求函數y的值域（反函數法）．