Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)，上一點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求拋物線的方程；

（2）過作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若直線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,求得的值,即可求得拋物線方程.

（2）方法一:設(shè)點(diǎn),,根據(jù)中點(diǎn)縱坐標(biāo)即可利用點(diǎn)差法求得直線的斜率,由點(diǎn)斜式即可求得直線方程;方法二,設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)的縱坐標(biāo),即可求得直線方程.

（1）把代入拋物線方程

解得

∴的方程為.

（2）法一：由（1）得拋物線的方程為,焦點(diǎn)

設(shè),兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,代入拋物線可得

則,兩式相減,整理得

∵線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

∴直線的斜率

直線的方程為即

法二：由（1）得拋物線的方程為,焦點(diǎn)

設(shè)直線的方程為

由消去,得

設(shè),兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,

∵線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

∴

解得

直線的方程為即