Question

【題目】已知點P到直線y＝﹣4的距離比點P到點A（0，1）的距離多3．

（1）求點P的軌跡方程；

（2）經過點Q（0，2）的動直線l與點P的軌交于M，N兩點，是否存在定點R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出點R的坐標：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y；（2）存在，R的坐標（0，﹣2）．

【解析】

（1）根據條件轉化為到的距離與它到直線的距離相等，利用拋物線的定義，即可求得點的軌跡方程；

（2）利用對稱性可得在軸上，設，再結合，則，聯立直線與拋物線的方程，利用根與系數的關系，求得，進而求得的值.

（1）因為點P到A（0，1）的距離比它到直線y＝﹣4的距離小3，

所以點P在直線y＝﹣4的上方，點P到A（0，1）的距離與它到直線y＝﹣1的距離相等

所以點P的軌跡C是以A為焦點，y＝﹣1為準線的拋物線，

所以方程為x2＝4y；

（2）當動直線l的斜率為0時，由對稱性可得R在y軸上，設為R（0，t），

設直線l的方程為y＝kx+2，聯立，整理得x2﹣4kx﹣8＝0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），

則x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，

所以

，

因為k≠0，所以，則R（0，﹣2），

綜上，R的坐標（0，﹣2）．