Question

【題目】在四棱錐中，平面，，，，，與平面所成的角是，是的中點，在線段上，且滿足.

（1）求二面角的余弦值；

（2）在線段上是否存在點，使得與平面所成角的余弦值是，若存在，求的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足條件的點，理由見解析.

【解析】

（1）首先根據與平面所成的角是得到，以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，根據得到，.

再分別求出平面的法向量和平面的法向量，帶入二面角公式即可.

（2）設，，利用向量法求出與平面所成角的正弦值，再解方程即可.

（1）因為平面，所以為與平面所成的角.

即，，所以.

以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，

，，，，設.

，，

因為，所以，解得，.

設平面的法向量為，

又，.

所以，令，得到.

設平面的法向量為，

又，.

所以，令，得到.

所以.

又由圖可知，該二面角為銳角，故二面角的余弦值為.

（2）

因為，，設，.

所以，.

由（1）知平面的法向量為，

所以

又因為與平面所成角的余弦值是

所以其正弦值為，即

整理得：或（舍去）

所以存在滿足條件的點，，.