Question

已知函數f（x）=x²+2x|x-a|，其中a∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若不等式4≤f（x）≤16在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明,不等式的證明

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）f（x）=x²+2x|x-a|=

-(x-a)2+a2，x≤a 3(x- a 3 )2- a2 3 ，x＞a

，分a≥0與a＜0討論，利用二次函數的單調性質即可求得函數f（x）的單調區間；

（Ⅱ）由題意知，只需f_min（x）≥4，f_max（x）≤16，利用f（x）在x∈[1，2]上恒遞增，可求得a的范圍a≤-

1

2

或a≥

5

2

；再對a分a≥

5

2

與a≤-

1

2

兩類討論，即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）=x²+2x|x-a|=

-(x-a)2+a2，x≤a 3(x- a 3 )2- a2 3 ，x＞a

，
當a≥0時，f（x）在（-∞，a）和（a，+∞）上均遞增；
當a＜0時（如圖），f（x）在（-∞，a）和(

a

3

，+∞)上遞增，在在(a，

a

3

)上遞減 …（6分）

（Ⅱ）由題意知，只需f_min（x）≥4，f_max（x）≤16，
首先，由（Ⅰ）可知，f（x）在x∈[1，2]上恒遞增，
則f_min（x）=f（1）=1+2|1-a|≥4，解得a≤-

1

2

或a≥

5

2

；
其次，當a≥

5

2

時，f（x）在R上遞增，故f_max（x）=f（2）=4a-4≤16，解得

5

2

≤a≤5；
當a≤-

1

2

時，f（x）在[1，2]上遞增，故f_max（x）=f（2）=12-4a≤16，解得-1≤a≤-

1

2

．
綜上：-1≤a≤-

1

2

或

5

2

≤a≤5…（15分）

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，著重考查分類討論思想與數形結合思想、等價轉化思想的綜合應用，是難題．