Question

8．求值：
（1）（2$\frac{7}{9}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$-（2$\sqrt{3}$-π）⁰-（2$\frac{10}{27}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$+0.25${\;}^{-\frac{3}{2}}$；
（2）已知0＜x＜1，且x+x^-1=3，求x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）利用指數冪的運算性質即可得出．
（2）由題意0＜x＜1，且x+x^-1=3，判斷x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$的值為負，采用兩邊平方后，再開方可得答案．

解答 解：（1）（2$\frac{7}{9}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$-（2$\sqrt{3}$-π）⁰-（2$\frac{10}{27}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$+0.25${\;}^{-\frac{3}{2}}$；
原式=$\sqrt{\frac{25}{9}}$-1-$（\frac{64}{27}）^{-\frac{2}{3}}$+$（\frac{1}{4}）^{-\frac{3}{2}}$
=$\frac{5}{3}$-1-$（\frac{27}{64}）^{\frac{2}{3}}$+${4}^{\frac{3}{2}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{9}{16}$+8
=8$\frac{5}{48}$
（2）由題意：0＜x＜1，
∴${x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}$＜0
所以：（${x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}$）²=x+x^-1-2．
∵x+x^-1=3
∴（${x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}$）²=1
故得${x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}$=-1

點評 本題考查了指數冪的運算性質，屬于基礎題．