Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，左右頂點分別為，，右焦點為，為橢圓上異于，的動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與軸交于點，過點作的平行線交軸與點，試探究是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在.

【解析】

（1）由當在軸時，面積最大，得，然后結合求解即可；

（2）先設，求出點，的坐標，然后求出以為直徑的圓的方程，再結合在橢圓上，代入方程整理得圓的方程為，然后令，求解即可.

解：（1）由題意知，當在軸時，面積最大，

所以①，

又②，

聯立①②，得，，，

所以橢圓的方程為.

（2）設，其中，則，，

所以直線的方程為，

令，得，即，

又，所以直線的方程為，

令，得，即，

所以，以為直徑的圓的方程為：

，

又，

且在橢圓上，

所以，

代入方程整理得圓的方程為

，

令，

則，

所以存在點，使得以為直徑的圓恒過點.