Question

已知函數f（x）的定義域為[a，b]，且a+b＞0，求下列各函數的定義域：
（1）f（x²）；
（2）g（x）=f（x）-f（-x）；
（3）h（x）=f（x+m）+f（x-m），（m＞0）

Answer 1

分析：（1）由已知條件得到a≤x²≤b，再解對數不等式．
（2）根據題意可知a≤x≤b且a≤-x≤b，根據b＞-a，得到x的范圍即得到g（x）的定義域．
（3）根據函數f（x）的定義域為[a，b]，可以求出f（x+m），f（x-m）的定義域，然后就可以確定m的范圍；

解答：解：（1）因為函數f（x）的定義域是[a，b]，
所以a≤x²≤b，
當a≥0時，解得定義域為：{x|-

b

≤x≤-

a

或

a

≤x≤

b

}
當a＜0時，解得定義域為：{x|-

b

≤x≤

b

}；
（2）∵f（x）的定義域為x∈[a，b]，
∴g（x）=f（x）-f（-x）的定義域為a≤x≤b且a≤-x≤b，即-b≤x≤-a，
又b＞-a，
根據不等式取解集的方法可得：g（x）的定義域為：[a，-a]．
（3）：∵函數f（x）的定義域為[a，b]，
∴a≤x+m≤b，a≤x-m≤b，即a-m≤x≤b-m，a+m≤x≤b+m，
∵h（x）=f（x+m）+f（x-m），（m＞0）的定義域存在，
∴b-m≥a+m，又m＞0
∴0＜m≤

1

2

（b-a），
故h（x）=f（x+m）+f（x-m），（m＞0）的定義域為：[a+m，b-m]．

點評：本題考查抽象函數的定義域，不等式的解法，本題是抽象函數，沒有具體的解析式，這點同學們要扣定義．屬中檔題．