Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

3

2

ax2+a(a∈R)
（1）若在函數f（x）圖象上存在點P（x₀，f（x₀））（x₀＞0），使得y=f（x）在P處的切線的斜率為-9，求a的最小值；
（2）若y=f（x）的圖象不經過第四象限，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導函數f'（x），然后根據f'（x₀）=-9建立等式，然后將a分離出來，利用基本不等式可求出a的取值范圍；
（2）討論a的正負，然后利用導數研究函數的極小值，根據函數圖象的特點，欲使y=f（x）的圖象不經過第四象限，只需函數的極小值大于等于0即可，從而求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3-

3

2

ax2+a(a∈R)
∴f'（x）=x²-3ax
根據題意可知f'（x₀）=x₀²-3ax₀=-9（x₀＞0），
即a=

x0

3

+

3

x0

≥2

x0 3 × 3 x0

=2
當且僅當x₀=3時，取等號
∴a的最小值為2
（2）令f'（x）=x²-3ax=0解得x=0或3a
若a＜0時，當x∈（-∞，3a）時，f'（x）＞0，
當x∈（3a，0）時，f'（x）＜0，
當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0
∴函數的極小值為f（0）=a≥0即可，此時a不存在
若a=0時，f（x）=

1

3

x³不過第四象限，滿足條件；
若a＞0時，當x∈（-∞，0）時，f'（x）＞0，
當x∈（0，3a）時，f'（x）＜0，
當x∈（3a，+∞）時，f'（x）＞0
∴函數的極小值為f（3a）=9a³-

27

2

a³+a≥0即可，
a（

9

2

a²-1）≤0且a＞0
解得：0＜a≤

2

3

∴y=f（x）的圖象不經過第四象限，求實數a的取值范圍是0＜a≤

2

3

．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究極值和基本不等式的應用，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．