Question

【題目】已知函數f（x）=﹣ x3+ x2﹣2x（a∈R）
（1）當a=3時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若對于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=3時函數f（x）=﹣ x3+ x2﹣2x，

函數f（x）=﹣ x3+ x2﹣2x=﹣ x3+ x2﹣2x，

∴f′（x）=﹣x2+3x﹣2，

﹣x2+3x﹣2＞0，即1＜x＜2

﹣x2+3x﹣2＜0即x＞2，x＜1．

所以函數f（x）的單調增區間（1，2），單調遞減區間為（﹣∞，1），（2，+∞）

（2）解：對于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，

﹣x2+ax﹣2＜2（a﹣1），即x2﹣ax+2a＞0，△=a2﹣8a，g（x）=x2﹣ax+2a，

當△＜0時0＜a＜8，不等式成立．

當△≥0時，即a≥8，a≤0，g（1）＞0， ≤1

﹣1＜a≤0，

綜上實數a的取值范圍：﹣1＜a＜8

【解析】（1）運用導函數求解判斷，（2）轉化為二次函數問題求解，討論對稱軸，單調性．
【考點精析】關于本題考查的基本求導法則和利用導數研究函數的單調性，需要了解若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．