Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．
（1）已知函數(shù)f（x）在點（l，f（1））處與x軸相切，求實數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（1）的結(jié)論下，對于任意的0＜a＜b，證明： ＜ ﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=lnx﹣mx+m，得 ．

∵f（x）在點（l，f（1））處與x軸相切，

∴f′（1）=1﹣m=0，即m=1

（2）解：∵ ．

當m≤0時， ，知函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增；

當m＞0時， ，由f′（x）＞0，得 ，

由f′（x）＞0，得 ．

即函數(shù)f（x）在 上遞增，在 上遞減

（3）證明：由（1）知m=1，得f（x）=lnx﹣x+1，

對于任意的0＜a＜b， ＜ ﹣1可化為

，其中0＜a＜b，

，其中0＜a＜b，

lnt﹣t+1＜0，t＞1，即f（t）＜0，t＞1．

由（2）知，函數(shù)f（x）在（1，+∞）遞減，且f（1）=0，于是上式成立．

故對于任意的0＜a＜b， 成立

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）在點（l，f（1））處與x軸相切，可得f′（1）=0，從而求得m的值；（2）由（1）中求得的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，對m進行分類，m≤0時，有f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增；m＞0時，由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0分別求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（3）把（1）中求出的m值代入函數(shù)解析式，把 ＜ ﹣1轉(zhuǎn)化為 ，令 后轉(zhuǎn)化為lnt﹣t+1＜0，t＞1，即f（t）＜0，t＞1．由（2）中的函數(shù)的單調(diào)性得到證明．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．