Question

已知函數(shù)f(x)=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，設(shè)F（x）=f（x+4），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則圓x²+y²=b-a的面積的最小值是

 

．

Answer 1

分析：利用導數(shù)判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性，再利用函數(shù)零點的判定定理判斷函數(shù)是否存在零點零點，利用平移變換找出F（x）與f（x）的零點之間的關(guān)系即可．

解答：解：∵f^′（x）=1-x+x²+…+x²⁰¹²，①x=0時，f^′（0）=1＞0；②當x=-1時，f^′（-1）=2013＞0；
③當x≠0，-1時，f^′（x）=

1-(-x)2013

1-(-x)

=

1+x2013

1+x

，無論x＞-1，還是x＜-1，都有f^′（x）＞0．
綜上可知：對?x∈R，都有f^′（x）＞0．∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，也就是說，函數(shù)f（x）至多有一個零點．
另一方面：f（0）=1＞0，f（-1）═0-

1

2

-

1

3

-…-

1

2013

＜0，∴f（0）f（-1）＜0，
由函數(shù)零點的判定定理可知：函數(shù)f（x）的零點x₀∈（-1，0）．
綜上可知：函數(shù)f（x）有且只有一個零點x₀∈（-1，0）．
又F（x）=f（x+4），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，∴函數(shù)F（x）的零點x0′必在區(qū)間（-5，-4）內(nèi)．
又（-5，-4）?[a，b]，（a＜b，a，b∈Z），∴b-a的最小值為1．
∴圓x²+y²=b-a的面積的最小值是π×1²=π．
故答案為π．

點評：熟練掌握導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點的判定定理及平移變換是解題的關(guān)鍵．