Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，是橢圓上位于直線兩側的動點．

（i）若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

（ii）當點運動時，滿足，問直線的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）（i）；（ii）的斜率為定值.

【解析】

試題（I）設橢圓的方程為，由條件利用橢圓的性質求得和的值，可得橢圓的方程．

（II）（i）設的方程為，代入橢圓的方程化簡，由△＞0，求得的范圍，再利用利用韋達定理可得以及的值．再求得的坐標，根據四邊形的面積，計算求得結果．

（ii）當時，C、的斜率之和等于零，的方程為，把它代入橢圓的方程化簡求得．再把直線的方程橢圓的方程化簡求得的值，可得以及的值，從而求得的斜率的值．

試題解析：設橢圓的方程為，由題意可得它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，．

再根據離心率，求得，∴橢圓C的方程為．

（Ⅱ）（i）設，的方程為，代入橢圓的方程化簡可得，由，求得．

利用韋達定理可得，．

在中，令求得，∴四邊形的面積

，

故當時，四邊形的面積取得最小值為4．

（ii）當時，、的斜率之和等于零，設的斜率為，則的斜率為，

的方程為，把它代入橢圓的方程化簡可得

，所以．

同理可得直線的方程為，

，

的斜率．