Question

設m為實數，函數f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，h(x)=

f(x) x (x≠0) 0(x=0)

．
（1）若f（1）≥4，求m的取值范圍；
（2）當m＞0時，求證h（x）在[m，+∞）上是單調遞增函數；
（3）若h（x）對于一切x∈[1，2]，不等式h（x）≥1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=1代入后對m的值進行討論即可．
（2）先寫出函數h（x）的解析式，然后用增函數的定義法證明．
（2）轉化為二次函數，從而根據二次函數的單調性解出實數m的范圍．

解答：解：（1）f（1）=2+（1-m）|1-m|≥4
當m＞1時，（1-m）（m-1）≥2，無解；
當m≤1時，（1-m）（1-m）≥2，解得m≤1-

2

．
所以m≤1-

2

．
（2）由于m＞0，x≥m．
所以h（x）=3x+

m2

x

-2m．
任取m≤x₁≤x₂，h（x₂）-h（x₁）=（x₂-x₁）（

3x1x2-m2

x1x2

）
x₂-x₁＞0，3x₁x₂-m²＞3m²-m²＞0，x₁x₂＞0
所以h（x₂）-h（x₁）＞0即：h（x）在[m，+∞）為單調遞增函數．
（3）、①m＜1時，x∈[1，2]，f（x）=2x²+（x-m）（x-m）=3x²-2mx+m²，
h（x）=

f(x)

x

≥1恒成立∴f（x）≥x恒成立，
即：g（x）=3x²-（2m+1）x+m²≥0
由于y=g（x）的對稱軸為x=

2m+1

6

＜1
故g（x）在[1，2]為單調遞增函數，
故g（1）≥0∴m²-2m+2≥0．
所以m＜1．
②當1≤m≤2時，h（x）=

x- m2 x  +2m   1≤x≤m 3x+ m2 x  -2m  m＜x≤2

易證y=x-

m2

x

+m在[1，m]為遞增，
由②得y=3x+

m2

x

-2m在[m，2]為遞增，
所以，h（1）≥1，即0≤m≤2，
所以1≤m≤2．
③當m＞2時，h（x）=x-

m2

x

+2m（無解）
綜上所述m≤2．

點評：本題主要考查函數的單調性證明和應用．屬中檔題．