Question

已知，，數(shù)列滿足，

， ．

（I）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（II）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（I）證明見答案（II）

解析:

（I）∵，，，

        ∴．

        即．

        又若a_n≠1，則a_n+1≠1，事實(shí)上當(dāng)a_n≠1時(shí)，由知，若a_n+1=1，則a_n=1，從而與a_n≠1矛盾，故a_n+1≠1．

由此及≠1可知a_n≠1對(duì)任意n∈N都成立．

       故對(duì)任何，，

所以．

        ∵，

      ∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

   

  （II）由，得 

        依題意（*）式對(duì)任意恒成立，

        ①當(dāng)t=0時(shí)，（*）式顯然不成立，因此t=0不符合題意．

　　　　　②當(dāng)t<0時(shí)，由，可知（）．

　而當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，因此t<0不符合題意．

　　　　　③當(dāng)t>0時(shí)，由（）,

∴ ，∴．（）

　　　　　　設(shè)  （），

　　　　　　∵ =,

　　　　　　∴．

　　　　　　∴的最大值為．

　　　　　　所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．