Question

已知正項數列滿足4S_n=（a_n+1）²．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

anan+1

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由4S_n=（a_n+1）²．可知當n≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²，兩式相減，結合等差數列的通項公式可求
（Ⅱ） 由（1）知  bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和即可求解

解答：解：（Ⅰ）∵4S_n=（a_n+1）²．
∴當n≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²．
兩式相減可得，4（s_n-s_n-1）=(an+1)2-(an-1+1)2
即4a_n=(an+1)2-(an-1+1)2
整理得a_n-a_n-1=2              …（4分）
又a₁=1
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1 …（6分）
（Ⅱ） 由（1）知  bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（8分）
所以Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

            …（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式及等差數列的通項公式、數列的裂項求和方法的應用