Question

設P ( x+a，y₁)，Q ( x，y₂ )，R ( 2+a，y₃ )是函數y = f ( x )圖像上的三個不同點，如果把函數y = f ( x )的圖像向左平移a個單位，再向下平移b個單位，所得圖像與函數y = log₂x－b的圖像相同，并且使2 y₂  = y₁ + y₃成立的實數x有且只有一個．求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：依題意，把函數y = log2x－b的圖像向上平移b個單位，再向右平移a個單位，所得圖像對應的函數即 y = f ( x )， ∴ y = f ( x ) = log2 (x－a) ． 并且  y1 = log2x，y2 = log2 (x－a)，y3 = log22 = 1 ． ∵ 2 y2  = y1 + y3，  即  2 log2 (x－a) = log2x + 1， 　　 　　 　　 ① 　　 ② 　　 　　     對于x的一元二次方程②， △ = (2a+2)2－4a2 = 8a + 4 = 4 (2a + 1) ． 當時，△= 0，故方程②有兩相等的實數根，為x = a+1，且a+1 > a， ∴  時，使題設要求成立． 當時，△> 0，故方程②有兩個不相等的實數根，為．  又 ∵， ∴  要使題設要求成立，必有：． 解此不等式易得   a ≥ 0． 綜上可得所求的a的取值范圍為或  a ≥ 0

提示：

函數f ( x )可依它與函數y = log2x－b的關系得到．2 y2  = y1 + y3實際上是一個關于x的方程，考慮方程有且只有一個實根的條件．