Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+a的反函數(shù)是y=f^-1（x）．設(shè)P（x+a，y₁），Q（x，y₂），R（2+a，y₃）是y=f^-1（x）圖象上不同的三點(diǎn)．
（1）如果存在正實(shí)數(shù)x，使y₁、y₂、y₃成等差數(shù)列，試用x表示實(shí)數(shù)a；
（2）在（1）的條件下，如果實(shí)數(shù)x是唯一的，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f^-1（x）=log₂（x-a），（x＞a），y₁=log₂a，y₂=log₂（x-a），
y₃=log₂2=1由題意，2log₂（x-a）=log₂x+1(x-a)2=2x，a=x-

2x

，x∈(0，2)∪(2，+∞)
（2）由題意：關(guān)于x的方程（x-a）²=2x即x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．
1⁰，當(dāng)判別式△=0時(shí)，a=-

1

2

，這時(shí)方程有唯一解x=

1

2

滿足條件；
2⁰，當(dāng)判別式△＞0時(shí)，方程的一個(gè)根大于a，
另一根小于a（不可能出現(xiàn)一根等于a的情形），
記g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，得a＞0．
解得：a＞0或a=-

1

2