Question

已知函數f(x)=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數．
（1）求a的值；  
（2）當x∈（0，1]時，t•f（x）≥2^x-2恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的性質，令f（0）=0列出方程，求出a的值；
（2）由0＜x≤1判斷出f（x）＞0，再把t分離出來轉化為t≥

(2x-2)(2x+1)

2x-1

對x∈（0，1]時恒成立，利用換元法：令m=2^x-1，代入上式并求出m的范圍，再轉化為求y=m-

1

m

+1在（0，1]上的最大值．

解答：解：（1）∵函數f(x)=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，
∴f(0)=1-

4

2+a

=0，解得a=2．
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

，當0＜x≤1時，f（x）＞0．
∴當0＜x≤1時，t•f（x）≥2^x-2恒成立，
則等價于t≥

2x-2

f(x)

=

(2x-2)(2x+1)

2x-1

對x∈（0，1]時恒成立，
令m=2^x-1，0＜m≤1，即t≥m-

1

m

+1當0＜m≤1時恒成立，
既t≥y=m-

1

m

+1在（0，1]上的最大值，易知y=m-

1

m

+1在（0，1]上單調遞增，
∴當m=1時y=m-

1

m

+1有最大值1，所以t≥1，
故所求的t范圍是：t≥1．

點評：本題考查了奇函數的性質應用，恒成立問題以及轉化思想和分離常數法求參數范圍，難度較大．