Question

若函數f（x+1）=-f（x），當x∈（0，1]時，f（x）=x，若在區間[-1，1]內，g（x）=f（x）-mx-m恰有一個零點，則實數m的取值范圍是

1. A.
   （0，]
2. B.
   [，+∞）
3. C.
   [0，+∞）
4. D.
   （0，）

Answer 1

A
分析：由題意可得函數f（x）是周期等于2的周期函數，f（x）=，表示2條線段．由條件得，在區間[-1，1]內，函數f（x）的圖象與函數y=mx+m的圖象只有一個交點，數形結合可得直線的斜率m滿足 0＜m≤，由此求得實數m的取值范圍．
解答：解：∵函數f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），
∴函數f（x）是周期等于2的周期函數．
當x∈（0，1]時，f（x）=x，故x∈（-1，0]時，（x+1）∈，（0，1]，f（x+1）=-f（x）=x+1，
∴f（x）=-x-1，即 f（x）=，表示2條線段．
若在區間[-1，1]內，函數g（x）=f（x）-mx-m 恰有一個零點，故函數f（x）的圖象與函數y=mx+m的圖象只有一個交點，如圖所示：
故有 0＜m≤，即實數m的取值范圍是（0，]，
故選A．
點評：此題是個中檔題．本題考查了利用函數零點的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數解析式，體現了轉化的思想，以及利用函數圖象解決問題的能力，體現了數形結合的思想．也考查了學生創造性分析解決問題的能力，屬于中檔題．