Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=kS_n+2，又a₁=2，a₂=1．
（1）求k的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求S_n．

Answer 1

分析：（1）要求k的值，考慮S₁=a₁，S₂=a₁+a₂，利用特殊值法；
（2）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）解決；
（3）明確數列特征，選用對應公式或方法．

解答：（1）∵S₂=kS₁+2，∴a₁+a₂=ka₁+2，
又a₁=2，a₂=1，2+1=2k+2，∴k=

1

2

；
（2）由（1）Sn+1=

1

2

Sn+2 ①，當n≥2時，Sn=

1

2

Sn-1+2②
①-②，an+1=

1

2

an，
又a2=

1

2

a1(∵an≠0，n∈N+)，∴

an+1

an

=

1

2

(n∈N+)
∴{a_n}是等比數列，公比為

1

2

，∴an=2×(

1

2

)n-1=

1

2n-2

；
(3)Sn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4-4(

1

2

)n

點評：本題考查了數列的通項與求和知識，要注意運用an=

a1(n=1) Sn-Sn-1(n≥2)

的關系．