Question

在△ABC中，滿足

sin2A+sin2B+sin2C=2 cot2A+cot2B+cot2C=2

試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：先對上式進行降冪化簡解出有一角為直角，將這個結論代入下式，進行恒等變形可求一角為45°，進而可得答案．

解答：解：∵sin²A+sin²B+sin²C=2
∴

1-cos2A

2

+

1-cos2B

2

=2-sin²C，
∴-

1

2

（cos2A+cos2B）=cos²C，
∴-cos（A+B）cos（A-B）=cos²C
∵△ABC，∴cos（A+B）=-cosC
∴cos（A-B）=cosC=-cos （A+B）
∴cos（A-B）=-cos （A+B）
∴cos（A-B）+cos（A+B）=0
∴2cosAcosB=0
∴cosA=0或者cosB=0，二者必有一為直角，
不妨令A為直角則有cot²B+cot²C=2，
∴

cos 2B

sin 2B

+

cos 2C

sin 2C

=2
∴

1

sin 2B

-1+

1

sin 2C

-1=2
∴

sin 2B+sin 2C

sin 2Bsin  2C

=4∵B+C=90°
∴sin²B+sin²C=1
∴4sin²Bsin²C=1
∴（2sinBcosB）²=1
∴sin2B=1
∴2B=90°，
B=C=45°
故△ABC是等腰直角三角形

點評：考查用三角恒等變換公式進行變形證明的能力，要求有較強的觀察總結能力及高超的組織材料的能力．