Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為常數且，為參數）.

（1）求和的直角坐標方程；

（2）若和相交于、兩點，以線段為一條邊作的內接矩形，當矩形的面積取最大值時，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 曲線的直角坐標方程為：;直線的直角坐標方程為： (2)

【解析】

(1)曲線利用平方可消去參數，直線可用代入法消去參數，得到普通方程.
(2)利用均值不等式的方法可求出圓的內接矩形面積最大時為內接正方形，即,然后利用圓中的垂徑定理結合點到直線的距離可求得答案.

（1）曲線的參數方程為（為參數）.

所以曲線的直角坐標方程為：.

直線的參數方程為（為常數且，為參數）.

所以直線的直角坐標方程為：.

(2)如圖，直線過定點.

設. 因為為的內接矩形.則為直徑,即

所以.

矩形對的面積為,.

,當且僅當時取等號.

圓的半徑，圓心到直線的距離為：

由，解得：.