Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，左右焦點分別為,,離心率為，右焦點到右頂點的距離為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）過 的直線與橢圓交于不同的兩點,,則的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）的面積取得最大值3, .

【解析】

（1）利用待定系數法結合題意求解橢圓方程即可；

（2）很明顯直線的斜率不為零，設出直線方程的x軸截距形式，得到面積函數，結合函數的性質確定面積最大時的直線方程即可.

（1）設橢圓：

因為， 所以

即橢圓： .

（2）設，不妨設

由題知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

則 ，

∴，

令，可知則，

∴

令，則，

當時，，即在區間上單調遞增，

∴，∴，

即當時，的面積取得最大值3，

此時直線的方程為．