Question

11、若不等式a＜2x-x²對于任意的x∈[-2，3]恒成立，則實數a的取值范圍為

（-∞，-8）

．

Answer 1

分析：不等式a＜2x-x²對于任意的x∈[-2，3]恒成立，則實數a應小于f（x）=-x²+2x在[-2，3]上的最小值，求出f（x）=-x²+2x在[-2，3]上的最小值，實數a的取值范圍即可得出．

解答：解析：由已知不等式a＜-x²+2x對任意x∈[-2，3]恒成立，令f（x）=-x²+2x，x∈[-2，3]，
∵f（x）在[-2，1]上是單調增函數，在[1，3]上單調遞減，
可得當x=-2時，f（x）_min=f（-2）=-（x-1）²+1=-8，
∴實數a的取值范圍a∈（-∞，-8）．
故答案為：（-∞，-8）

點評：本題考查函數的恒成立問題，把問題轉化為求f（x）=-x²+2x在[-2，3]上的最小值．