Question

已知f（x）=2^x（x∈R）可以表示為一個奇函數g（x）與一個偶函數h（x）之和，若不等式a-g（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立，則實數a的取值范圍是

a≥-

17

6

．

Answer 1

分析：由題意可得g（x）+h（x）=2^x，根據函數奇偶性，推出方程g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x從而可得h（x）和g（x）的解析式，再代入不等式a-g（x）+h（2x）≥0，利用常數分離法進行求解

解答：解：解：f（x）=2^x可以表示成一個奇函數g（x）與一個偶函數h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②聯立可得，h（x）=

1

2

（2x+2-x），g（x）=

1

2

（2x-2-x），
ag（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立
a≥-

h(2x)

g(x)

對于x∈[1，2]恒成立
a≥-

4x+4-x

2x-2-x

=-（2x-2-x）+（2-x-2x）對于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈[

3

2

，

15

4

]則t+

2

t

在t∈[

3

2

，

15

4

]，
t=

3

2

，時，則t+

2

t

=

17

6

，
∴a≥-

17

6

；
故答案為a≥-

17

6

；

點評：本題主要考查了奇偶函數的定義的應用，函數的恒成立的問題，常會轉化為求函數的最值問題，體現了轉化思想的應用．