Question

9．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且（S_n-1）²=a_nS_n（n∈N^*）．
（1）求S₁，S₂，S₃的值；
（2）求出S_n及數列{a_n}的通項公式；
（3）設b_n=（-1）^n-1（n+1）²a_na_n+1（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由（S_n-1）²=a_nS_n（n∈N^*），分別取n=1，2，3即可得出．
（2）由（1）可得：n≥2時，（S_n-1）²=（S_n-S_n-1）S_n（n∈N^*）．化為：S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$．猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$．代入驗證即可得出．
（3）b_n=（-1）^n-1（n+1）²a_na_n+1（n∈N^*）=（-1）^n-1$\frac{1}{n（n+2）}$=（-1）^n-1$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，對n分類討論，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵（S_n-1）²=a_nS_n（n∈N^*），
∴n≥2時，（S_n-1）²=（S_n-S_n-1）S_n（n∈N^*）．
∴n=1時，$（{a}_{1}-1）^{2}={a}_{1}^{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$=S₁．
n=2時，$（{S}_{2}-1）^{2}=（{S}_{2}-\frac{1}{2}）{S}_{2}$，解得S₂=$\frac{2}{3}$．
同理可得：S₃=$\frac{3}{4}$．
（2）由（1）可得：n≥2時，（S_n-1）²=（S_n-S_n-1）S_n（n∈N^*）．
化為：S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$．（*）
猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$．
n≥2時，代入（*），左邊=$\frac{n}{n+1}$；右邊=$\frac{1}{2-\frac{n-1}{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴左邊=右邊，猜想成立，n=1時也成立．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，n=1時也成立．
∴S_n=$\frac{n}{n+1}$，a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（3）b_n=（-1）^n-1（n+1）²a_na_n+1（n∈N^*）=（-1）^n-1$\frac{1}{n（n+2）}$=（-1）^n-1$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴n=2k（k∈N^*）時，數列{b_n}的前n項和為
T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$-$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）（n+2）}$．
n=2k-1（k∈N^*）時，數列{b_n}的前n項和為
T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…-$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2（n+1）（n+2）}$．
∴T_n=$\frac{1}{4}+（-1）^{n-1}$×$\frac{1}{2（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查了“裂項求和法”、數列遞推關系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．