Question

【題目】設函數f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）若f（1）＞0，試求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；
（2）若f（1）= ，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為﹣2，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定義域為R的奇函數，∴f（0）=0，可k﹣1=0，即k=1，

故f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）

∵f（1）＞0，∴a﹣ ＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．

f′（x）=axlna+

∵a＞1，∴lna＞0，而ax+ ＞0，

∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上單調遞增

原不等式化為：f（x2+2x）＞f（4﹣x），

∴x2+2x＞4﹣x，即x2+3x﹣4＞0

∴x＞1或x＜﹣4，

∴不等式的解集為{x|x＞1或x＜﹣4}

（2）解：∵f（1）= ，∴a﹣ = ，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣ （舍去）．

∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．

令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x為增函數

∵x≥1，∴t≥f（1）= ，

令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2　（t≥ ）

若m≥ ，當t=m時，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2

若m＜ ，當t= 時，h（t）min= ﹣3m=﹣2，

解得m= ＞ ，舍去

綜上可知m=2

【解析】（1）根據f（x）是定義域為R的奇函數，可得k=1，從而f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，從而可證f（x）在R上單調遞增，故原不等式化為x2+2x＞4﹣x，從而可求不等式的解集；（2）根據f（1）= 確定a=2的值，從而可得函數g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x ， 由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x為增函數，可得t≥f（1）= ，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥ ），分類討論，利用最小值為﹣2，可求m的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．