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【題目】已知函數f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R).
(1)當a=1時,求函數f(x)的單調區間;
(2)當a>0時,設g(x)=(x2﹣2x)ex , 求證:對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立.

【答案】
(1)解:因為f(x)= x2﹣3x+2lnx,x>0,

所以f′(x)=x﹣3+ =

令f′(x)=0,解得x=1,或x=2,

當f′(x)>0時,解得0<x<1或x>2,

當f′(x)<0時,解得1<x<2,

所以其單調遞增區間為(0,1),(2,+∞),單調遞減區間為(1,2)


(2)解:若要命題成立,只需當x∈(0,2]時,f(x)max<g(x)max.由g′(x)=(x2﹣2)ex

可知,當x∈(0,2]時,g(x)在區間(0, )上單調遞減,在區間( ,2]上單調遞增,

g(0)=g(2)=0,故g(x)max=0,

所以只需f(x)max<0.

對函數f(x)來說,f′(x)=ax﹣(2a+1)+ =

①當 ≥2時,即 0<a≤ ,函數f(x)在區間x∈(0,2]上單調遞增,

所以,f(x)max=f(2)=﹣2a﹣2+2ln2<0,

所以,a>ln2﹣1 即0<a≤

②當0< <2時,即a> ,函數f(x)在區間(0, )上單調遞增,在區間( ,2]上單調遞減,

所以f(x)max=f( )=﹣2lna﹣ ﹣2.

當a≥1時,顯然小于0,滿足題意;

<a<1時,可令h(a)=﹣2lna﹣ ﹣2,

所以h′(a)=

可知該函數在a∈( ,1)時單調遞減,h(a)<h( )=2ln2﹣3<0,滿足題意,

所以a> 滿足題意.

綜上所述:當a>0時,對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立.

方法二:f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx= ﹣(x﹣2lnx),

因為a>0,x∈(0,2],

所以 <0

令h(x)=x﹣2lnx,則h′(x)=1﹣ =

所以h(x)在(0,2]為單調遞減,h(x)≥h(2)=2﹣2ln2>0,

因此,在a>0,x∈(0,2]時,f(x)<0,

故當a>0時,對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立.


【解析】(1)先求導,再根據導數和函數單調性的關系即可求出單調區間;(2)問題轉化為f(x)max<g(x)max , 根據導數和函數最值的關系求出g(x)max=0,再對a進行分類討論,根據導數和函數最值的關系即可證明.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識,掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區間內,(1)如果,那么函數在這個區間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區間單調遞減,以及對函數的最大(小)值與導數的理解,了解求函數上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

練習冊系列答案
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