【題目】已知函數f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R).
(1)當a=1時,求函數f(x)的單調區間;
(2)當a>0時,設g(x)=(x2﹣2x)ex , 求證:對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立.
【答案】
(1)解:因為f(x)= x2﹣3x+2lnx,x>0,
所以f′(x)=x﹣3+ =
,
令f′(x)=0,解得x=1,或x=2,
當f′(x)>0時,解得0<x<1或x>2,
當f′(x)<0時,解得1<x<2,
所以其單調遞增區間為(0,1),(2,+∞),單調遞減區間為(1,2)
(2)解:若要命題成立,只需當x∈(0,2]時,f(x)max<g(x)max.由g′(x)=(x2﹣2)ex,
可知,當x∈(0,2]時,g(x)在區間(0, )上單調遞減,在區間(
,2]上單調遞增,
g(0)=g(2)=0,故g(x)max=0,
所以只需f(x)max<0.
對函數f(x)來說,f′(x)=ax﹣(2a+1)+ =
.
①當 ≥2時,即 0<a≤
,函數f(x)在區間x∈(0,2]上單調遞增,
所以,f(x)max=f(2)=﹣2a﹣2+2ln2<0,
所以,a>ln2﹣1 即0<a≤ ,
②當0< <2時,即a>
,函數f(x)在區間(0,
)上單調遞增,在區間(
,2]上單調遞減,
所以f(x)max=f( )=﹣2lna﹣
﹣2.
當a≥1時,顯然小于0,滿足題意;
當 <a<1時,可令h(a)=﹣2lna﹣
﹣2,
所以h′(a)= ,
可知該函數在a∈( ,1)時單調遞減,h(a)<h(
)=2ln2﹣3<0,滿足題意,
所以a> 滿足題意.
綜上所述:當a>0時,對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立.
方法二:f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx=
﹣(x﹣2lnx),
因為a>0,x∈(0,2],
所以 <0
令h(x)=x﹣2lnx,則h′(x)=1﹣ =
,
所以h(x)在(0,2]為單調遞減,h(x)≥h(2)=2﹣2ln2>0,
因此,在a>0,x∈(0,2]時,f(x)<0,
故當a>0時,對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立.
【解析】(1)先求導,再根據導數和函數單調性的關系即可求出單調區間;(2)問題轉化為f(x)max<g(x)max , 根據導數和函數最值的關系求出g(x)max=0,再對a進行分類討論,根據導數和函數最值的關系即可證明.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識,掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區間內,(1)如果
,那么函數
在這個區間單調遞增;(2)如果
,那么函數
在這個區間單調遞減,以及對函數的最大(小)值與導數的理解,了解求函數
在
上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數
在
內的極值;(2)將函數
的各極值與端點處的函數值
,
比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】對于函數f(x),若a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)為某一三角形的三邊長,則稱f(x)為“可構造三角形函數”,已知函數f(x)= 是“可構造三角形函數”,則實數t的取值范圍是( )
A.[0,+∞)
B.[0,1]
C.[1,2]
D.
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【題目】設函數f(x)=kax﹣a﹣x(a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數.
(1)若f(1)>0,試求不等式f(x2+2x)+f(x﹣4)>0的解集;
(2)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值為﹣2,求m的值.
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【題目】已知命題p:x∈[1,2],x2≥a;命題q:x∈R,x2+2ax+2﹣a=0,若命題p∧q是真命題,則實數a的取值范圍是( )
A.a≤﹣2或a=1
B.a≤﹣2或1≤a≤2
C.a≥1
D.﹣2≤a≤1
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【題目】函數y=f(x)圖象上不同兩點A(x1 , y1),B(x2 , y2)處的切線的斜率分別是kA , kB , 規定φ(A,B)= 叫曲線y=f(x)在點A與點B之間的“彎曲度”,給出以下命題: 1)函數y=x3﹣x2+1圖象上兩點A、B的橫坐標分別為1,2,則φ(A,B)>
;
2)存在這樣的函數,圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數;
3)設點A、B是拋物線,y=x2+1上不同的兩點,則φ(A,B)≤2;
4)設曲線y=ex上不同兩點A(x1 , y1),B(x2 , y2),且x1﹣x2=1,若tφ(A,B)<1恒成立,則實數t的取值范圍是(﹣∞,1);
以上正確命題的序號為(寫出所有正確的)
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【題目】已知函數y=f(x)(x≠0)對于任意的x,y∈R且x,y≠0滿足f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求f(1),f(﹣1)的值;
(2)求證:y=f(x)為偶函數;
(3)若y=f(x)在(0,+∞)上是增函數,解不等式 .
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