Question

已知點 A（0，2）為圓M：x²+y²-2ax-2ay=0外一點，圓M上存在點T使得∠MAT=45°，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：化標準方程易得圓的圓心為M（a，a），半徑r=

2

a，由題意可得1≥

TM

AM

≥sin∠MAT，由距離公式可得a的不等式，解不等式可得．

解答： 解：化圓的方程為標準方程可得（x-a）²+（y-a）²=2a²，
∴圓的圓心為M（a，a），半徑r=

2

|a|，
∴AM=

a2+(a-2)2

，TM=

2

|a|，
∵AM和TM長度固定，
∴當T為切點時，∠MAT最大，
∵圓M上存在點T使得∠MAT=45°，
∴若最大角度大于45°，則圓M上存在點T使得∠MAT=45°，
∴

TM

AM

=

2 |a|

a2+(a-2)2

≥sin∠MAT=sin45°=

2

2

，
整理可得a²+2a-2≥0，解得a≥

3

-1或a≤-

3

-1，
又

TM

AM

=

2 |a|

a2+(a-2)2

≤1，解得a≤1，
又點 A（0，2）為圓M：x²+y²-2ax-2ay=0外一點，
∴0²+2²-4a＞0，解得a＜1
綜上可得

3

-1≤a＜1或a≤-

3

-1
故答案為：

3

-1≤a＜1或a≤-

3

-1

點評：本題考查圓的一般式方程和圓的性質，涉及距離公式的應用，屬中檔題．