Question

（1）設扇形的周長是定值為c（c＞0），中心角α．求證：當α=2時該扇形面積最大；
（2）設y=1-2a+a²-2acosx-2sin²x（-2≤a≤2，x∈R）．求證：y≥-3．

Answer 1

分析：（1）設扇形的弧長為l、半徑為R，由扇形面積公式得到面積S關于l的函數，根據二次函數的性質算出當l=

c

2

時，S有最大值，進而算出此時的中心角α=2，使命題得證；
（2）利用同角三角函數的關系，將y化成關于a與cosx的式子，配方得y=2(cosx-

a

2

)2+

a2

2

-2a-1，再由cosx的值域與a的范圍加以計算，可得y的最小值

1

2

[(a-2)2-6]≥-3，從而得出y≥-3．

解答：解：（1）證明：設扇形的弧長為l、半徑為R，可得2R+l=c，R=

c-l

2

（c＞l）．
∴扇形的面積S=

1

2

Rl=

1

2

c-l

2

•l=

1

4

(cl-l2)=-

1

4

(l-

c

2

)2+

c2

16

．
∴當且僅當l=

c

2

時，S有最大值為

c2

16

．
此時R=

c

4

，可得中心角α=

l

R

=2，
∴當α=2時該扇形面積最大，命題得證．
（2）證明：y=1-2a+a²-2acosx-2（1-cos²x），
=2(cosx-

a

2

)2+

a2

2

-2a-1，
∵-2≤a≤2，可得-1≤

a

2

≤1，
∴當cosx=

a

2

時，y_min=

a2

2

-2a-1=

1

2

[(a-2)2-6]．
又∵-2≤a≤2，
∴ymin=

1

2

[(a-2)2-6]≥-3，當a=2時取等號，
即y≥-3，命題得證．

點評：本題證明了關于扇形與二次函數的命題成立，著重考查了扇形的弧長與面積公式、同角三角函數的基本關系和二次函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．