Question

（1）設扇形的周長是定值為，中心角．求證：當時該扇形面積最大；

（2）設．求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由扇形周長為定值可得半徑與弧長關系(定值)，而扇形面積，一般地求二元函數最值可消元化為一元函數(見下面詳解)，也可考慮利用基本不等式，求出最值，并判斷等號成立 條件，從而得解；（2）這是一個雙變元(和)的函數求最值問題，由于這兩個變元沒有制約關系，所以可先將其中一個看成主元，另一個看成參數求出最值(含有另一變元)，再求解這一變元下的最值，用配方法或二次函數圖象法.

試題解析：（1）證明：設弧長為，半徑為，則，          2分

所以，當時，                                  5分

此時，而

所以當時該扇形面積最大                         7分

（2）證明：

                     9分

∵，∴，                        11分

∴當時，         14分

又，所以，當時取等號，

即．                                 16分

法二：

                            9分

∵，,                 11分

∴當時，

，                    14分

又∵，∴

當時取等號

即．                                             16分

考點：扇形的周長和面積、三角函數、二次函數.