Question

某企業有兩個生產車間分別在A、B兩個位置，A車間有100名員工，B車間有400名員工，現要在公路AC上找一點D，修一條公路BD，并在D處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意兩點間的距離均是1km，設∠BDC=α，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．
（1）寫出S關于α的函數表達式，并指出α的取值范圍；
（2）問食堂D建在距離A多遠時，可使總路程S最少？

Answer 1

【答案】分析：（1）在△BCD中先利用正弦定理求得BD，和CD的表達式，進而表示出AD，則總路程S與α的關系可得．
（2）對函數S進行求導，令S'=0求得cosα的值，進而根據導函數判斷函數的單調性的方法，可推斷出當時，當和當函數的單調性和函數的最小值，進而求得總路程最小時AD的長．
解答：解：（1）在△BCD中，∵，
∴，．
則．
，其中．

（2）
令S'=0，得．
當時，S'＜0，S是α的單調減函數；
當時，S'＞0，S是α的單調增函數．
∴當時，S取得最小值．
此時，，
=．
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．考查了學生分析問題和解決實際問題的能力．