Question

某企業有兩個生產車間分別在A、B兩個位置，A車間有100名員工，B車間有400名員工，現要在公路AC上找一點D，修一條公路BD，并在D處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意兩點間的距離均是1km，設∠BDC=α，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．
（1）寫出S關于α的函數表達式，并指出α的取值范圍；
（2）問食堂D建在距離A多遠時，可使總路程S最少？

Answer 1

分析：（1）在△BCD中先利用正弦定理求得BD，和CD的表達式，進而表示出AD，則總路程S與α的關系可得．
（2）對函數S進行求導，令S'=0求得cosα的值，進而根據導函數判斷函數的單調性的方法，可推斷出當cosα＞

1

4

時，當cosα＜

1

4

和當cosα=

1

4

函數的單調性和函數的最小值，進而求得總路程最小時AD的長．

解答：解：（1）在△BCD中，∵

BD

sin60°

=

BC

sinα

=

CD

sin(120°-α)

，
∴BD=

3 2

sinα

，CD=

sin(120°-α)

sinα

．
則AD=1-

sin(120°-α)

sinα

．
S=400•

3 2

sinα

+100[1-

sin(120°-α)

sinα

]=50-50

3

•

cosα-4

sinα

，其中

π

3

≤α＜

2π

3

．

（2）S′=-50

3

•

-sinα•sinα-(cosα-4)cosα

sin2α

=50

3

•

1-4cosα

sin2α

令S'=0，得cosα=

1

4

．
當cosα＞

1

4

時，S'＜0，S是α的單調減函數；
當cosα＜

1

4

時，S'＞0，S是α的單調增函數．
∴當cosα=

1

4

時，S取得最小值．
此時，sinα=

15

4

，
AD=1-

sin(120°-α)

sinα

=1-

3 2 cosα+ 1 2 sinα

sinα

=

1

2

-

3 cosα

2sinα

=

1

2

-

3

2

•

1 4

15 4

=

1

2

-

5

10

．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．考查了學生分析問題和解決實際問題的能力．