Question

如圖，海岸線MAN，∠A=

2π

3

，現用長為6的攔網圍成一養殖場，其中B∈MA，C∈NA．
（1）若BC=6，求養殖場面積最大值；
（2）若AB=2，AC=4，在折線MBCN內選點D，使BD+DC=6，求四邊形養殖場DBAC的最大面積（保留根號）．

Answer 1

分析：（1）設AB為x，AC為y，根據BC=6，∠A=

2π

3

，結合余弦定理及基本不等式可得xy的范圍，代入三角形面積公式，可得養殖場面積最大值；
（2）由AB=2，AC=4，∠A=

2π

3

，結合余弦定理，可求出BC長，若四邊形養殖場DBAC的最大面積，則△DBC面積最大即可，根據橢圓的定義及幾何特征，D為以BC為焦點的橢圓的短軸頂點時滿足條件．

解答：解：（1）設AB=x，AC=y，x＞0，y＞0．
BC²=x²+y²-2xycos

2π

3

≥2xy-2xy（-

1

2

），
∴xy≤12，
S=

1

2

xysin

2π

3

≤3

3

所以，△ABC面積的最大值為 3

3

，當且僅當x=y時取到．
（2）∵AB=2，AC=4，
BC=

AB2+AC2-2•AB•AC•cos 2π 3

=2

7

，
由DB+DC=6，知點D在以B、C為焦點的橢圓上，
∵S_△ABC=2

3

為定值
只需故四邊形養殖場DBAC的面積最大時，僅需△DBC面積最大，需此時點D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點，
S_△BCD面積的最大值為

14

，
因此，四邊形ACDB面積的最大值為 2

3

+

14

點評：本題考查的知識點是解三角形的實際應用，余弦定理，橢圓的定義及幾何性質，難度較大，屬于難題．