Question

如圖，海岸線MAN，∠A=2θ，現用長為l的攔網圍成一養殖場，其中B∈MA，C∈NA．
（1）若BC=l，求養殖場面積最大值；
（2）若B、C為定點，BC＜l，在折線MBCN內選點D，使BD+DC=l，求四邊形養殖場DBAC的最大面積；
（3）若（2）中B、C可選擇，求四邊形養殖場ACDB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先設AB=x，AC=y，x＞0，y＞0，由余弦定理得出關于x，y的等式，再結合基本不等式求出xy的最大值，從而得出養殖場面積最大值；
（2）設AB=m，AC=n（m，n為定值）．由DB+DC=l=2a為定值知點D在以B、C為焦點的橢圓上，欲使四邊形養殖場DBAC的最大面積，只需△DBC面積最大，需此時點D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點即可．
（3）先確定點B、C，使BC＜l．由（2）知△DBC為等腰三角形時，四邊形ACDB面積最大．確定△BCD的形狀，使B、C分別在AM、AN上滑動，且BC保持定值，由（1）知AB=AC時，四邊形ACDB面積最大．

解答：解：（1）設AB=x，AC=y，x＞0，y＞0.l_=x_+y_-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ，xy≤

l2

2-2cos2θ

=

l2

4sin2θ

，S=

1

2

xysin2θ≤

1

2

•

l2

4sin2θ

•2sinθcosθ=

l2cosθ

4sinθ

，
所以，△ABC面積的最大值為

l2cosθ

4sinθ

，當且僅當x=y時取到．
（2）設AB=m，AC=n（m，n為定值）． BC=2c（定值），
由DB+DC=l=2a，a=

1

2

l，知點D在以B、C為焦點的橢圓上，S△ABC=

1

2

mnsin2θ為定值．
只需△DBC面積最大，需此時點D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點．b=

a2-c2

=

l2 4 -c2

，S△BCD面積的最大值為

1

2

•2c•b=c•

l2 4 -c2

，
因此，四邊形ACDB面積的最大值為

1

2

m•n•sin2θ+c•

l2 4 -c2

．
（3）先確定點B、C，使BC＜l．由（2）知△DBC為等腰三角形時，四邊形ACDB面積最大．
確定△BCD的形狀，使B、C分別在AM、AN上滑動，且BC保持定值，
由（1）知AB=AC時，四邊形ACDB面積最大．
此時，△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD=

l

2

．
S=2S△ACD=2•

1

2

•AC•AD•sinθ．
由（1）的同樣方法知，AD=AC時，三角形ACD面積最大，最大值為

1

2

•

l

2

•

l 4

tan θ 2

．
所以，四邊形ACDB面積最大值為

l2

8tan θ 2

．

點評：本小題主要考查余弦定理、基本不等式、橢圓的定義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．