Question

如圖，海岸線MAN，∠A=2θ，現用長為l的攔網圍成一養殖場，其中B∈MA，C∈NA．
（1）若BC=l，求養殖場面積最大值；
（2）若B、C為定點，BC＜l，在折線MBCN內選點D，使BD+DC=l，求四邊形養殖場DBAC的最大面積；
（3）若（2）中B、C可選擇，求四邊形養殖場ACDB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設AB=x，AC=y，x＞0，y＞0，由余弦定理得出關于x，y的等式，再結合基本不等式求出xy的最大值，從而得出養殖場面積最大值；
（2）設AB=m，AC=n（m，n為定值）．由DB+DC=l=2a為定值知點D在以B、C為焦點的橢圓上，欲使四邊形養殖場DBAC的最大面積，只需△DBC面積最大，需此時點D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點即可．
（3）先確定點B、C，使BC＜l．由（2）知△DBC為等腰三角形時，四邊形ACDB面積最大．確定△BCD的形狀，使B、C分別在AM、AN上滑動，且BC保持定值，由（1）知AB=AC時，四邊形ACDB面積最大．
解答：解：（1）設AB=x，AC=y，x＞0，y＞0.，，，
所以，△ABC面積的最大值為，當且僅當x=y時取到．
（2）設AB=m，AC=n（m，n為定值）． BC=2c（定值），
由DB+DC=l=2a，a=l，知點D在以B、C為焦點的橢圓上，為定值．
只需△DBC面積最大，需此時點D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點．面積的最大值為，
因此，四邊形ACDB面積的最大值為．
（3）先確定點B、C，使BC＜l．由（2）知△DBC為等腰三角形時，四邊形ACDB面積最大．
確定△BCD的形狀，使B、C分別在AM、AN上滑動，且BC保持定值，
由（1）知AB=AC時，四邊形ACDB面積最大．
此時，△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD=．
S=．
由（1）的同樣方法知，AD=AC時，三角形ACD面積最大，最大值為．
所以，四邊形ACDB面積最大值為．
點評：本小題主要考查余弦定理、基本不等式、橢圓的定義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．