Question

已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為，直線l：y＝kx＋m交橢圓于不同的兩點A，B，

(1)求橢圓的方程，

(2)若坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.

Answer 1

(1)設橢圓的半焦距為c，依題意，解得c＝.

由a²＝b²＋c²，得b＝1.

∴所求橢圓方程為＋y²＝1.

(2)由已知得＝，可得m²＝(k²＋1).

將y＝kx＋m代入橢圓方程，

整理得(1＋3k²)x²＋6kmx＋3m²－3＝0.

Δ＝(6km)²－4(1＋3k²)(3m²－3)>0(*)

∴x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.

∴|AB|²＝(1＋k²)(x₂－x₁)²＝(1＋k²)[－]

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＝3＋＝3＋≤3＋＝4(k≠0)，

當且僅當9k²＝，即k＝±時等號成立.

經檢驗，k＝±滿足(*)式.

當k＝0時，|AB|＝.

綜上可知|AB|_max＝2.

∴當|AB|最大時，△AOB的面積取最大值S_max＝×2×＝.