Question

13．已知函數f（x）=x³-3x²-k有三個不同的零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． （-4，0）
• B． [-4，0）
• C． （-∞，-4）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根據題意求出函數的導數并且通過導數求出出原函數的單調區間，進而得到原函數的極值，因為函數存在三個不同的零點，所以結合函數的性質可得函數的極大值大于0，極小值小于0，即可單調答案．

解答 解：由題意可得：f′（x）=3x²-6x．
令f′（x）＞0，則x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，則0＜x＜2，
所以函數f（x）的單調增區間為（-∞，0）和（2，+∞），減區間為（0，2），
所以當x=0時函數有極大值f（0）=-k，當x=2時函數有極小值f（2）=-4-k．
因為函數f（x）存在三個不同的零點，
所以f（0）＞0并且f（2）＜0，
解得：-4＜k＜0．
所以實數a的取值范圍是 （-4，0）．
故選：A．

點評 解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用導數求函數的單調區間與函數的極值，并且掌握通過函數零點個數進而判斷極值點與0的大小關系