Question

已知M為圓C：x²+y²-4x-14y+45=0上任一點，且點Q（-2，3）．
（Ⅰ）若P（a，a+1）在圓C上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率；
（Ⅱ）求|MQ|的最大值和最小值；
（Ⅲ）若M（m，n），求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由點P（a，a+1）在圓C上，可得a=4，即得到P（4，5）．，進而求出所以線段PQ的長及直線PQ的斜率．
（Ⅱ）由題意可得圓的圓心C坐標為（2，7），半徑．可得，根據圓的性質可得答案．
（Ⅲ）可知表示直線MQ的斜率，設直線MQ的方程為：y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，根據直線與圓的位置關系可得，即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）由點P（a，a+1）在圓C上，
可得a²+（a+1）²-4a-14（a+1）+45=0，所以a=4，P（4，5）．
所以，．
（Ⅱ）由C：x²+y²-4x-14y+45=0可得（x-2）²+（y-7）²=8．
所以圓心C坐標為（2，7），半徑．
可得，
因此 ，．
（Ⅲ）可知表示直線MQ的斜率，
設直線MQ的方程為：y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
則．
由直線MQ與圓C有交點，所以 ．
可得，
所以的最大值為，最小值為．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握圓的坐標方程及其一個的性質，并且熟練掌握直線與圓的位置關系的判定．