Question

已知M為圓C：x²+y²-4x-14y+45=0上任一點，且點Q（-2，3）．
（Ⅰ）若P（a，a+1）在圓C上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率；
（Ⅱ）求|MQ|的最大值和最小值；
（Ⅲ）若M（m，n），求

n-3

m+2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點P（a，a+1）在圓C上，可得a=4，即得到P（4，5）．，進(jìn)而求出所以線段PQ的長及直線PQ的斜率．
（Ⅱ）由題意可得圓的圓心C坐標(biāo)為（2，7），半徑r=2

2

．可得|QC|=

(2+2)2+(7-3)2

=4

2

，根據(jù)圓的性質(zhì)可得答案．
（Ⅲ）可知

n-3

m+2

表示直線MQ的斜率，設(shè)直線MQ的方程為：y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得2-

3

≤k≤2+

3

，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由點P（a，a+1）在圓C上，
可得a²+（a+1）²-4a-14（a+1）+45=0，所以a=4，P（4，5）．
所以|PQ|=

(4+2)2+(5-3)2

=2

10

，KPQ=

3-5

-2-4

=

1

3

．
（Ⅱ）由C：x²+y²-4x-14y+45=0可得（x-2）²+（y-7）²=8．
所以圓心C坐標(biāo)為（2，7），半徑r=2

2

．
可得|QC|=

(2+2)2+(7-3)2

=4

2

，
因此 |MQ|max=4

2

+2

2

=6

2

，|MQ|min=4

2

-2

2

=2

2

．
（Ⅲ）可知

n-3

m+2

表示直線MQ的斜率，
設(shè)直線MQ的方程為：y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
則

n-3

m+2

=k．
由直線MQ與圓C有交點，所以 

|2k-7+2k+3|

1+k2

≤2

2

．
可得2-

3

≤k≤2+

3

，
所以

n-3

m+2

的最大值為2+

3

，最小值為2-

3

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的坐標(biāo)方程及其一個的性質(zhì)，并且熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定．