Question

已知M為圓C：x²+y²-4x-14y+45=0上任一點，且點Q（-2，3）．
（Ⅰ）若P（a，a+1）在圓C上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率；
（Ⅱ）求|MQ|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中P（a，a+1）在圓C上，代入即可得到一個關于a的一元二次方程，解方程求出滿足條件 的a值，代入兩點確定直線的斜率公式，即可求出答案．
（II）由已知中圓C：x²+y²-4x-14y+45=0我們可以求出圓的標準方程，進而求出圓心坐標及半徑，及CQ的長度，進而得到|MQ|的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由點P（a，a+1）在圓C上，
可得a²+（a+1）²-4a-14（a+1）+45=0，所以a=4，P（4，5）．
所以|PQ|=

(4+2)2+(5-3)2

=2

10

，KPQ=

3-5

-2-4

=

1

3

．（6分）
（Ⅱ）由C：x²+y²-4x-14y+45=0可得（x-2）²+（y-7）²=8．
所以圓心C坐標為（2，7），半徑r=2

2

．
可得|QC|=

(2+2)2+(7-3)2

=4

2

，
因此|MQ|max=4

2

+2

2

=6

2

，|MQ|min=4

2

-2

2

=2

2

．（12分）

點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，其中將圓C的一般方程，化為標準方程，進而求出圓心坐標及半徑是解答本題的關鍵．