Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cosA=

1

3

，
（1）求sin2

B+C

2

+cos2A的值；   
（2）若a=

3

，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的降冪公式，結合已知cosA=

1

3

可求得sin2

B+C

2

+cos2A的值；
（2）利用余弦定理與基本不等式即可求得bc的最大值．

解答：解：（1）∵在△ABC中，A+B+C=π，cosA=

1

3

，
∴原式=sin2(

π

2

-

A

2

)+cos2A
=

1+cosA

2

+2cos²A-1
=

2

3

+

2

9

-1
=-

1

9

．
（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，∵a=

3

，
∴3=b²+c²-

2

3

bc≥2bc-

2

3

bc=

4

3

bc，
∴bc≤

9

4

（當且僅當b=c時取等號）．
∴bc的最大值是

9

4

．

點評：本題考查二倍角的余弦與三角函數間的關系式，考查余弦定理與基本不等式，屬于中檔題．