Question

如圖，四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E為PD中點。

 （1）求證：平面ABCD；    　

   （2）求二面角E―AC―D的大小；

   （3）在線段BC上是否存在點F，使得點E到平面PAF的距離為？若存在，確定點F的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解法一：

   （1）證明：∵底面ABCD為正方形，

∴BC⊥AB，又BC⊥PB，

    ∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥PA.     

同理CD⊥PA， 

∴PA⊥平面ABCD.  

   （2）解：設M為AD中點，連結EM，

又E為PD中點，

可得EM//PA，從而EM⊥底面ABCD.

過M作AC的垂線MN，垂足為N，連結EN

由三垂線定理有EN⊥AC，

∴∠ENM為二面角E―AC―D的平面角.                              

在中，可求得   

∴.                                       

∴ 二面角E―AC―D的大小為.                            

   （3）解：由E為PD中點可知,

要使得點E到平面PAF的距離為，

即要使點D到平面PAF的距離為.

過D作AF的垂線DG，垂足為G,    ∵平面ABCD，

∴平面平面，  ∴平面，

即DG為點D到平面PAF的距離.

∴，  ∴.                            

設BF=x，

由與相似可得   ，

∴，即.

∴在線段上存在點，且為中點，使得點到平面的距離為.

解法二：

   （1）證明：同解法一.

   （2）解：建立如圖的空間直角坐標系，  

                

則.         

設為平面的一個法向量，

則m，m.

又

 

令則

得m.     

又是平面的一個法向量，

設二面角的大小為 ，

則.

∴ 二面角的大小為.     

   （3）解：設n為平面的一個法向量，

則n，n.

又，

 

      令則

得n.                                                      

又

∴點到平面的距離，

∴，

解得，即 .

∴在線段上存在點，使得點到平面的距離為，且為中點.