Question

求下列雙曲線的標準方程：
（1）過點（3，-1），漸近線方程是y=±3x；
（2）與橢圓

x2

16

+

y2

64

=1有相同的焦點，且離心率為

2

．

Answer 1

分析：（1）根據題意，雙曲線的漸近線方程是y=±3x，可設雙曲線方程為 9x²-y²=λ（λ≠0），又由雙曲線過點（3，-1），將點P的坐標代入可得λ的值，進而可得答案．
（2）由橢圓的性質，可得橢圓

x2

16

+

y2

64

=1的焦點坐標，由雙曲線的離心率可設雙曲線方程為為 y²-x²=a²（a＞0），則可得a的值，進而可得雙曲線方程．

解答：解：根據題意，雙曲線的漸近線方程是y=±3x，
設雙曲線方程為 9x²-y²=λ（λ≠0），
∵雙曲線過點（3，-1），
∴9×9-1=λ，即λ=80．
∴所求雙曲線方程為

x2

80 9

-

y2

80

=1；
（2）∵橢圓

x2

16

+

y2

64

=1的焦點坐標為（0，4

3

）和（0，-4

3

），
根據雙曲線的離心率為

2

．則可設雙曲線方程為 y²-x²=a²（a＞0），
∵c=4

3

，即

2

a=4

3

，
∴a=2

6

．
故所求雙曲線方程為

y2

24

-

x2

24

=1．

點評：本題考查雙曲線的標準方程的求法，考查雙曲線的標準方程以及橢圓的簡單幾何性質，注意區分并記憶橢圓、雙曲線的幾何性質及標準方程的形式．